有限数学示例

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$ 。

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

解题步骤 2

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2} - 7 x + 12} = y$

解题步骤 2.3

使用 AC 法来对 $x^{2} - 7 x + 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $- 7$ 。

$- 4, - 3$

解题步骤 2.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$

解题步骤 3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$(x - 4) (x - 3), 1$

解题步骤 3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$(x - 4) (x - 3)$

解题步骤 4

将 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ 中的每一项乘以 $(x - 4) (x - 3)$ 以消去分数。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} = y$ 中的每一项乘以 $(x - 4) (x - 3)$ 。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $(x - 4) (x - 3)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x - 4) (x - 3)} ((x - 4) (x - 3)) = y ((x - 4) (x - 3))$

解题步骤 4.2.1.2

重写表达式。

$(x + 1) (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

解题步骤 4.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

运用分配律。

$x (x - 1) + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

解题步骤 4.2.2.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = y ((x - 4) (x - 3))$

解题步骤 4.2.2.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

解题步骤 4.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

解题步骤 4.2.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

解题步骤 4.2.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

解题步骤 4.2.3.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

解题步骤 4.2.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - x + x - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

解题步骤 4.2.3.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$x^{2} + 0 - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

解题步骤 4.2.3.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - 1 = y ((x - 4) (x - 3))$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 4) (x - 3)$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

运用分配律。

$x^{2} - 1 = y (x (x - 3) - 4 (x - 3))$

解题步骤 4.3.1.2

运用分配律。

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 (x - 3))$

解题步骤 4.3.1.3

运用分配律。

$x^{2} - 1 = y (x \cdot x + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

解题步骤 4.3.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} - 1 = y (x^{2} + x \cdot - 3 - 4 x - 4 \cdot - 3)$

解题步骤 4.3.2.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 3)$

解题步骤 4.3.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 3 x - 4 x + 12)$

解题步骤 4.3.2.2

从 $- 3 x$ 中减去 $4 x$ 。

$x^{2} - 1 = y (x^{2} - 7 x + 12)$

解题步骤 4.3.3

运用分配律。

$x^{2} - 1 = y x^{2} + y (- 7 x) + y \cdot 12$

解题步骤 4.3.4

化简。

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解题步骤 4.3.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + y \cdot 12$

解题步骤 4.3.4.2

将 $12$ 移到 $y$ 的左侧。

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 \cdot y$

$x^{2} - 1 = y x^{2} - 7 y x + 12 y$

解题步骤 5

求解方程。

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解题步骤 5.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$y x^{2} - 7 y x + 12 y = x^{2} - 1$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} = - 1$

解题步骤 5.3

在等式两边都加上 $1$ 。

$y x^{2} - 7 y x + 12 y - x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 5.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.5

将 $a = y - 1$ 、 $b = - 7 y$ 和 $c = 12 y + 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7 y)}^{2} - 4 \cdot ((y - 1) \cdot (12 y + 1))}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6

化简分子。

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解题步骤 5.6.1

对 $- 7 y$ 运用乘积法则。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.2

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (y - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.3

运用分配律。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y - 4 \cdot - 1) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.4

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} + (- 4 y + 4) \cdot (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.5

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 y + 4) (12 y + 1)$ 。

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解题步骤 5.6.5.1

运用分配律。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y + 1) + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.5.2

运用分配律。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y + 1)}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.5.3

运用分配律。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 y (12 y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.6.6.1

化简每一项。

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解题步骤 5.6.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y \cdot y) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.6.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.6.6.1.2.1

移动 $y$ 。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 (y \cdot y)) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.6.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 4 \cdot (12 y^{2}) - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.6.1.3

将 $- 4$ 乘以 $12$ 。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y \cdot 1 + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.6.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 4 (12 y) + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.6.1.5

将 $12$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4 \cdot 1}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.6.1.6

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} - 4 y + 48 y + 4}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.6.2

将 $- 4 y$ 和 $48 y$ 相加。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{49 y^{2} - 48 y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.6.7

从 $49 y^{2}$ 中减去 $48 y^{2}$ 。

$x = \frac{7 y \pm \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

解题步骤 5.7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y + \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

$x = \frac{7 y - \sqrt{y^{2} + 44 y + 4}}{2 (y - 1)}$

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